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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 30

Avalie a integral.

int_0^1 (4)/(1 + p^2) d p

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (4)/(1 + p^2) d p = 4 int (1)/(1 + p^2) d p

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctan x + C

Agora é só aplicar:

4 int (1)/(1 + p^2) d p = 4 arctan p + C

Passo 2

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_0^1 (4)/(1 + p^2) d p = 4 (arctan p)_1^2 = 4 (arctan 2 - arctan 1) =

= 4 ((pi)/(4) - 0) = pi

Resposta

int_0^1 (4)/(1 + p^2) d p = pi

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35. Prove que se f for contínua e se m ≤ f ( x ) ≤ M em [ a , b ] , então m ( b - a ) ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )
39-40 Calcule o limite expressando-o como integral definida no intervalo a , b e aplicando uma fórmula apropriada de geometria.39 lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 3 x k * + 1 ) ∆ x k ; a = 0 , b = 1
34.Use o teorema 5.5 . 6 para determinar se o valor da integral é positivo ou negativoa) ∫ - 3 - 1 x 4 3 - x d x b) ∫ - 2 2 x 3 - 9 x + 1 d x
33.Use o teorema 5.5 . 6 para determinar se o valor da integral é positivo ou negativoa) ∫ 2 3 x 1 - x d x b) ∫ 0 4 x 2 3 - cos ⁡ x d x
41. Seja f x = C uma função constante.(a) Use uma fórmula de Geometria para mostrar que: ∫ a b f x d x = C ( b - a ) (b) Mostre que o valor de qualquer soma de Riemann para f ( x ) sobre [ a , b ] é C