Enunciado

Calcule a integral

∫ 0 1 3 + x x d x

Passo 1

Fala, pessoal! Nesse exercício, precisamos calcular o valor da integral

∫ 0 1 3 + x x d x .

Para isso, vamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Você se lembra dela? Se não, sem problemas! Saca só:

  • Se F é uma primitiva de f , ou seja, se F ' = f , então
  • ∫ a b f x d x = F x ​ a b =   F b - F a .

    Observe que no nosso caso a = 0 , b = 1 e

    f x = 3 + x x .

    Pra facilitar o nosso trabalho, podemos reescrever a função f , lembrando das propriedades de potência, da seguinte forma:

    f x = 3 x 0 + x 3 2 .

    Então, precisamos apenas encontrar uma primitiva F da função f   e fazer as contas necessárias, beleza? Pra isso, vamos utilizar a Regra da Potência:

  • Para n ≠ - 1 , uma primitiva da função x n é

F x = x n + 1 n + 1

Vamos calcular essa integral? Você vai ver como vai ser tranquilo 🤓!

Passo 2

Começamos encontrando uma primitiva da função

f x = 3 x 0 + x 3 2 .

Aplicando a regra da potência em cada termo, temos que

F x = 3 x 0 + 1 0 + 1 + x 3 2 + 1 3 2 + 1

é uma primitiva da função f .

Simplificando, ficamos com

F x = 3 x + 2 x 5 2 5 .

Logo, como pela Parte 2 do Teorema Fundamental temos que

∫ 0 1 f ( x ) d x = F 1 - F 0 ,

e temos também que

F 1 = 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 5 2 5 = 17 5

e

F 0 = 0 - 2 ⋅ 0 5 2 5 = 0 ,

então o valor da integral é

∫ 0 1 3 + x x d x = 17 5 - 0 = 17 5 .

Resposta

O valor da integral é

∫ 0 1 3 + x x d x = 17 5 .

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Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de y = x e y = x 2 .
Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de y x = 4 e x + y = 5 .
Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.
Encontre o centroide da região.A região delimitada à esquerda pelo eixo y , à direita pela reta x = 2 , abaixo pela parábola y = x 2 e acima pela reta y = x + 6 .
Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.