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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 17

Encontre o centroide da região.

A região delimitada pelos gráficos de y = x e y = x 2 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

Em x , precisamos igualar as duas equações:

y = x 2 ,     y = x

x 2 = x

Resolvendo a equação:

x = 0 ,     x = 1

Podemos então dizer que:

0 < x < 1

Olhando graficamente a região, vemos que ela está limitada por cima por y = x e por baixo por y = x 2 :

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = 1 (por cima) e y = g x = x 2 (por baixo). E em x , entre 0 e 2 .

A gente pode calcular a área pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ 0 1 x - x 2 d x = 1 3

Nossa integral fica:

x - = 3   ∫ 0 1 x ( x - x 2 ) d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

x - = 9 20

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 3 ∫ 0 1 1 2 x 2 - x 4 d x

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

y - = 9 20

Resposta

x - , y - = 9 20 , 9 20

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