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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 20

Encontre o centroide da região.

A região delimitada pelos gráficos de y x = 4 e x + y = 5 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

Em x , precisamos igualar as duas equações:

y x = 4 ,     y + x = 5 ∴ y = 5 - x

x 5 - x = 4 ∴ - x 2 + 5 x - 4 = 0

Resolvendo a equação:

x = 1 ,     x = 4

Podemos então dizer que:

1 < x < 4

Agora se liga no gráfico:

A reta limita região por cima e a parábola limita a região por baixo, belezinha?

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = 5 - x (por cima) e y = g x = 1 / x   (por baixo). E em x , entre 1 e 4 .

A gente pode calcular a área pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ 1 4 5 - x - 4 x d x = - 16 I n 2 + 15 2

Nossa integral fica:

x - = 2 - 16 I n 2 + 15   ∫ 1 4 x 5 - x - 4 x d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

x - = 9 - 16 I n 2 + 15

Passo 4

Agora a coordenada y - . A gente pode usar essa fórmula aqui:

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Maaas repara uma coisa no gráfico da região:

A nossa região é simétrica em relação ao eixo y = x . O que quer dizer também que: y - = x - . Logo:

y - = 9 - 16 I n 2 + 15

Resposta

x - , y - = 9 - 16 I n 2 + 15 , 9 - 16 I n 2 + 15

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