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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 14

Encontre o centroide da região.

A região delimitada à esquerda pelo eixo y , à direita pela reta x = 2 , abaixo pela parábola y = x 2 e acima pela reta y = x + 6 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

O eixo x está limitado entre x = 0 (o eixo y ) e x = 2 . Podemos então dizer que:

0 < x < 2

Para y , ele já disse, né? Por baixo pela parábola y = x 2 e por cima pela reta y = x + 6 .

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = 6 + x (por cima) e y = g x = x 2 (por baixo). E em x , entre 0 e 2 .

A gente pode calcular a área pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ 0 2 6 + x - x 2 d x = 34 3

Nossa integral fica:

x - = 3 34   ∫ 0 2 x ( 6 + x - x 2 ) d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

x - = 16 17

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 3 34 ∫ 0 2 1 2 6 + x 2 - x 4 d x

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

y - = 346 85

Resposta

x - , y - = 16 17 , 346 85

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