Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 4
Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centroide da região e confirme-a por integração.
Passo 1
A ideia aqui é estimar o centroide dessa placa pensando na simetria dela e depois usar nossa fórmulinha para confirmar:
Passo 2
Nossa placa é um losango. Ele é simétrico tanto vertical quanto horizontalmente. Isso significa que o centroide vai fazer bem no meio.
Como o centro dele está bem na origem:
Passo 3
Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada :
No eixo nossa região está entre e , mas para , no eixo , nossa região está entre (por cima) e (por baixo). Já para para , no eixo , nossa região está entre (por cima) e (por baixo). Por isso vamos ter duas integrais, uma para cada intervalo.
Agora vamos pensar na área, se você reparar, nossa região é também um quadrado rotacionado. Para descobrir o lado dele é só a gente usar Pitágoras:
Aí a gente descobre que o lado vale , e a área vale .
Nossa integral fica:
Vai cair numa integral simples de polinômios que dá:
Passo 4
Agora a coordenada :
Fazendo as distributivas e resolvendo as integrais polinomiais que aparecerem:
Viu? Deu igualzinho!