Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 42
Calcule a integral.
Passo 1
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já está simplificada, então vamos ver se dá para usar Substituição Simples. Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então vamos tentar Integração por Partes:
Vamos fazer então e :
e
Vamos substituir agora:
Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.
Passo 2
Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:
Vamos achar os valores de , e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de , de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Isolando na primeira, ficamos com:
Pronto, achamos os valores de , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Passo 3
Vamos resolver separadamente, na primeira usamos uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Então ficamos com:
Passo 4
Com a segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer a mudança de variável:
Vamos agora achar a diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Vamos usar o mesmo método que usamos para calcular a integral anterior além de:
Assim:
Passo 5
Vamos juntar tudo agora:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta no que você usou no começo:
Agora vamos voltar a expressão original: