Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 15
Calcule a integral.
Passo 1
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos no denominador um formato que é possível usar uma das formas da Tabela de Substituição Trigonométrica, com a seguinte cara , então vamos ter a substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.
Passo 2
Vamos simplificar um pouco, dá para usar a identidade trigonométrica:
Assim:
Aqui vamos ter a sacada que lembra algo, não? É equivalente a secante, vamos substituir então:
Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Então ficamos com:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , aqui vamos usar o que sabemos sobre a tangente, sabemos que , temos lá da substituição que , e com o cosseno podemos substituir usando a identidade trigonométrica :