Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 11
Calcule a integral.
Passo 1
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão, se formos tentar achar as raízes do denominador vamos ver que o é negativo, assim não temos raízes reais, vamos tentar então ajustar o denominador para ter raízes reais, vemos que ele se parece muito com , assim vamos fazer essa modificação, e ajustar o numerador também:
Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.
Passo 2
Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador e no numerador, podemos então usar a mudança de variável:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Agora vamos resolver as duas integrais separadamente, para não confundir, vamos lá.
Passo 3
Vamos analisar o que fazer para calcular:
Aqui vamos usar Substituição novamente, repare que temos um no denominador e no numerador, que é parecido com a derivada de , vamos fazer então:
O que nos dá:
Vamos substituir:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 4
Agora vamos para a segunda integral:
Esse é simples, já tá na forma de uma das integrais indefinidas da tabela:
Então ficamos com:
Passo 5
Vamos agora juntar:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:
Aqui só mais um detalhe, podemos tirar o módulo do , pois a expressão vai ser sempre positiva, não importa qual valor de , assim: