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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 24

Calcule a integral.

int (x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) d x

Passo 1

Olá, querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos resolver essa integral e para isso iremos recorrer a frações parciais. Pois temos uma fração e outro método de resolução não aparente ser possível.

Primeiro devemos fatorar o denominador:

x^3 + 3 x = x ( x^2 + 3 )

Assim,

(x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) = (x^2 - x + 6)/(x (x^2 + 3))

Passo 2

Fazendo a decomposição:

(x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + 3)

= (A (x^2 + 3) + x ( B x + C ))/(x^3 + 3 x)

Desta forma,

(A + B) x^2 + C x + 3 A = x^2 - x + 6

Logo,

3 A = 6

A = 2

C = - 1

E

A + B = 1

B = 1 - A = 1 - 2 = - 1

Assim,

(x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) = (2)/(x) - (x + 1)/(x^2 + 3)

Passo 3

Desta forma, a integral será

int (x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) d x

= 2 int (1)/(x) d x - int (x)/(x^2 + 3) d x - int (1)/(x^2 + 3) d x

A primeira integral é simples e será igual a ln | x | .

Já a segunda é calculada fazendo u = x^2 + 3 => d u = 2 x d x :

int (x)/(x^2 + 3) d x

= (1)/(2) int (1)/(u) d u

= (1)/(2) ln |u|

= (1)/(2) ln ( x^2 + 3 )

Por fim, a última integral é facilitada fazendo x = sqrt(3) t => d x = sqrt(3) d t . Desta forma,

int (1)/(x^2 + 3) d x

= int (1)/(3 t^2 + 3) sqrt(3) d t

= (sqrt(3))/(3) int (1)/(t^2 + 1) d t

= (1)/(sqrt(3)) a r c t g t

= (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((x)/(sqrt(3)))

Passo 4

Desta forma,

int (x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) d x = 2 ln | x | - (1)/(2) ln (x^2 + 3) - (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((x)/(sqrt(3)))

Resposta

2 ln | x | - (1)/(2) ln (x^2 + 3) - (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((x)/(sqrt(3)))

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