Calcule a integral.

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x   d x

Passo 1

Olá, querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui queremos resolver essa integral e para isso iremos recorrer a frações parciais. Pois temos uma fração e outro método de resolução não aparente ser possível.

Primeiro devemos fatorar o denominador:

x 3 + 3 x = x ( x 2 + 3 )

Assim,

x 2 - x + 6 x 3 + 3 x = x 2 - x + 6 x x 2 + 3

Passo 2

Fazendo a decomposição:

x 2 - x + 6 x 3 + 3 x = A x + B x + C x 2 + 3

= A x 2 + 3 + x ( B x + C ) x 3 + 3 x

Desta forma,

A + B x 2 + C x + 3 A = x 2 - x + 6

Logo,

3 A = 6

A = 2

C = - 1

E

A + B = 1

B = 1 - A = 1 - 2 = - 1

Assim,

x 2 - x + 6 x 3 + 3 x = 2 x - x + 1 x 2 + 3

Passo 3

Desta forma, a integral será

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x   d x

= 2 ∫ 1 x d x - ∫ x x 2 + 3 d x - ∫ 1 x 2 + 3 d x

A primeira integral é simples e será igual a ln ⁡ | x | .

Já a segunda é calculada fazendo u = x 2 + 3 ⇒ d u = 2 x   d x :

∫ x x 2 + 3 d x

= 1 2 ∫ 1 u d u

= 1 2 ln ⁡ u

= 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 3 )

Por fim, a última integral é facilitada fazendo x = 3 t ⇒ d x = 3   d t . Desta forma,

∫ 1 x 2 + 3 d x

= ∫ 1 3 t 2 + 3   3   d t

= 3 3 ∫ 1 t 2 + 1 d t

= 1 3 a r c t g   t

= 1 3 a r c t g   x 3

Passo 4

Desta forma,

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x   d x = 2 ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 - 1 3 a r c t g   x 3

Resposta

2 ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 - 1 3 a r c t g   x 3

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