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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 42

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ 0 1 1 1 + x 3 d x

Passo 1

A questão pede para fazermos uma substituição racionalizante para daí usar frações parciais e calcular a integral. Façamos então u = x 3 . Assim, u 3 = x ⇒ d x = 3 u 2   d u . Portanto, a integral ficará

∫ 0 1 1 1 + x 3 d x = ∫ 0 1 3 u 2 1 + u d u

Essa nova integral é calculada por frações parciais!

Primeiro vamos dividir 3 u 2 por u + 1 :

3 u 2 = 3 u - 1 u + 1 + 3

Assim,

3 u 2 1 + u = 3 u - 1 + 3 u + 1

Note que a decomposição em fatores já está feita, assim podemos ir direto para a integral!!!

Passo 2

Portanto,

∫ 0 1 1 1 + x 3 d x = ∫ 0 1 3 u 2 1 + u d u = 3 ∫ 0 1 u - 1 + 1 u + 1 d u

Assim,

∫ 0 1 1 1 + x 3 d x = 3   u 2 2 - u + ln ⁡ u + 1 0 1 = 3 1 2 - 1 + ln ⁡ 2

Desta forma,

∫ 0 1 1 1 + x 3 d x = 3 ln ⁡ 2 - 3 2

Resposta

3 ln ⁡ 2 - 3 2

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