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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 4

  1. Trace as funções f x = 1 x 1,1 e g x = 1 x 0,9 nas janelas retangulares 0,10 por 0,1 e 0,100 por 0,1 .
  2. Encontre as áreas sob os gráficos de f e g de x = 1 a x = t e calcule para t = 10 , 100 , 10 4 , 10 6 , 10 10 e 10 20 .
  3. Calcule a área total sob cada curva para x ≥ 1 , se ela existir.

Passo 1

  1. Aqui estão os gráficos das duas funções:

    2. Passo 2

  2. Vamos calcular área sob o gráfico de f de x = 1 a x = t :

    3. F t = ∫ 1 t x - 1,1 d x

    Essa integral é simples de calcular, vamos calcular a integral indefinida dela, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

    Vamos aplicar:

    ∫ x - 1,1 d x = x - 1,1 + 1 - 1,1 + 1 + C = x - 0,1 - 0,1 + C = - 1 0,1 x 0,1 + C = - 10 x - 0,1  

    Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

    ∫ a b f x d x = F b - F a

    Vamos lá:

    F t = ∫ 1 t x - 1,1 d x = - 10 x - 0,1   1 t = - 10 t - 0,1 - - 10 . 1 - 0,1 = - 10 t - 0,1 - 1  

    Passo 3

    Vamos calcular área sob o gráfico de g de x = 1 a x = t :

    G t = ∫ 1 t x - 0,9 d x

    Essa integral é simples de calcular, vamos calcular a integral indefinida dela, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

    Vamos aplicar:

    ∫ x - 0,9 d x = x - 0,9 + 1 - 0,9 + 1 + C = x 0,1 0,1 + C = 10 x 0,1  

    Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

    ∫ a b f x d x = F b - F a

    Vamos lá:

    G t = ∫ 1 t x - 0,9 d x = 10 x 0,1   1 t = 10 t 0,1 - 10 . 1 0,1 = 10 t 0,1 - 1  

    Passo 4

    Agora é só substituir os valores de t em F t :

    F 10 = - 10 t - 0,1 - 1 = 2,06

    F 100 = - 10 t - 0,1 - 1 = 3,69

    F 10 4 = - 10 t - 0,1 - 1 = 6,02

    F 10 6 = - 10 t - 0,1 - 1 = 7,49

    F 10 10 = - 10 t - 0,1 - 1 = 9

    F 10 20 = - 10 t - 0,1 - 1 = 9,9

    Agora é só substituir os valores de t em G t :

    G 10 = 10 t 0,1 - 1 = 2,59

    G 100 = 10 t 0,1 - 1 = 5,85

    G 10 4 = 10 t 0,1 - 1 = 15,12

    G 10 6 = 10 t 0,1 - 1 = 29,81

    G 10 10 = 10 t 0,1 - 1 = 9 0

    G 10 20 = 10 t 0,1 - 1 = 990

    Passo 5

  3. A área total abaixo da curva de f para x ≥ 1 é:

A t o t a l F = ∫ 1 ∞ - 10 t - 0,1 - 1 d t = lim t → ∞ ⁡ - 10 t - 0,1 - 1 = 10

A área total abaixo da curva de g para x ≥ 1 é:

A t o t a l G = ∫ 1 ∞ 10 t 0,1 - 1 d t = lim t → ∞ ⁡ 10 t 0,1 - 1 = ∞

Resposta

  2. F t = - 10 t - 0,1 - 1

    3. G t = 10 t 0,1 - 1

    F 10 = 2,06

    F 100 = 3,69

    F 10 4 = 6,02

    F 10 6 = 7,49

    F 10 10 = 9

    F 10 20 = 9,9

    G 10 = 2,59

    G 100 = 5,85

    G 10 4 = 15,12

    G 10 6 = 29,81

    G 10 10 = 90

    G 10 20 = 990

  3. A t o t a l F = 10

A t o t a l G = ∞

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