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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 73

Calcule a integral.

int_a^(+ oo) (x)/((x^2 + 1)^2) d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Espantou com esse oo aí? Vamos esquecer ele por enquanto então, ok?

Vamos primeiro resolver a integral indefinida. Essa aqui:

int (x)/((x^2 + 1)^2) d x

Bom, aqui é tranquilo, a gente faz uma substituição simples. Vamos fazer:

u = x^2 + 1

d u = 2 x d x -> (d u)/(2) = x d x

Passo 2

Remontando nossa integral, temos:

(1)/(2) int (d u)/(u^2)

Aí integrando em u :

(1)/(2) [- (1)/(u)] = - (1)/(2 u) + C

Agora é só voltar pra x :

- (1)/(2 (x^2 + 1)) + C

Integral resolvida, agora vamos para a parte interessante...

Passo 3

Bom, vamos pensar como um intervalo. Seria tipo:

[- (1)/(2 (x^2 + 1))]_a^(+ oo)

Não dá pra fazer isso aqui, mas dá pra fazer isso:

underset(b -> + oo)(lim) [- (1)/(2 (x^2 + 1))]_a^b

Show! Vamos resolver isso aí agora:

underset(b -> + oo)(l i m) [- (1)/(2 (b^2 + 1)) + (1)/(2 (a^2 + 1))]

underset(0)(ubrace underset(b -> + oo)(l i m) - (1)/(2 (b^2 + 1))) + underset(b -> + oo)(l i m) (1)/(2 (a^2 + 1))

= 0 + (1)/(2 (a^2 + 1))

= (1)/(2 (a^2 + 1))

E prontinho! Conseguimos😉

Resposta

(1)/(2 (a^2 + 1))

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