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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 69

Calcule a integral.

int_0^((1)/(2)) a r c s e n x d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos resolver essa por integração por partes.

Você deve estar pensando: mas como vou fazer integração por partes se a gente só tem uma função?

Se liga:

u = a r c s e n x

d v = d x

Sim, a gente pode fazer isso! Aí a gente vai ter:

d u = (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x e v = x

Passo 2

Agora quando a gente monta a relação da integração por partes, a gente fica com:

x a r c s e n x - int x ((1)/(sqrt(1 - x^2)) d x) ( * )

Vamos resolver essa integral aí que sobrou agora:

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Aqui a gente vai aplicar uma substituição:

t = 1 - x^2 -> d t = - 2 x d x -> - (d t)/(2) = x d x

- (1)/(2) int (d t)/(sqrt(t)) = - (1)/(2) (2 sqrt(t)) = - sqrt(t)

Passo 3

Vamos voltar pra variável x agora:

- sqrt(1 - x^2)

Beleza! Substituindo lá em ( * ) agora:

x a r c s e n x + sqrt(1 - x^2)

Agora só falta a gente aplicar os intervalos de integração...

[x a r c s e n x + sqrt(1 - x^2)]_0^((1)/(2))

= (1)/(2) a r c s e n (1)/(2) + sqrt(1 - (1)/(4)) - 0 - sqrt(1)

= (pi)/(12) + sqrt((3)/(4)) - 1

= (pi)/(12) - (sqrt(3))/(2) - 1

Prontinho! Tá calculado😉

Resposta

(pi)/(12) - (sqrt(3))/(2) - 1

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