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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 74

Calcule a integral.

int_0^(+ oo) (d x)/(a^2 + b^2 x^2) a , b > 0

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Espantou com esse oo aí? Vamos esquecer ele por enquanto então, ok?

Vamos primeiro resolver a integral indefinida. Essa aqui:

int (d x)/(a^2 + b^2 x^2)

A gente tem um monte de letra aí, mas não esquenta não! Nossa variável é só o x , o resto é constante, a gente trata igual número mesmo!

Vamos pensar nessa integral aí então...

Passo 2

A gente tem uma integral “básica” que é o seguinte:

int (d u)/(a^2 + u^2) = (1)/(a ( 1 )) a r c t g ((u)/(a)) + C

(o coeficiente do x vai junto ali denominador de (1)/(a) )

Podemos usar isso na nossa, olha só:

int (d x)/(a^2 + (b x)^2)

= (1)/(a b) a r c t g ((b x)/(a)) + C

Então nossa integral já tá resolvida! Vamos para a outra parte agora...

Passo 3

Bom, vamos pensar como um intervalo. Seria tipo:

[(1)/(a b) a r c t g ((b x)/(a))]_0^(+ oo)

Não dá pra fazer isso aqui, mas dá pra fazer isso:

underset(t -> + oo)(lim) [(1)/(a b) a r c t g ((b x)/(a))]_0^t

E aí resolvendo isso...

underset(b -> + oo)(l i m) [(1)/(a b) a r c t g ((b t)/(a)) - (1)/(a b) a r c t g ((0)/(a))]

underset(b -> + oo)(l i m) ((1)/(a b) a r c t g ((b t)/(a))) - underset(b -> + oo)(l i m) ((1)/(a b) ( 0 ))

= (1)/(a b) ((pi)/(2)) - 0

= (pi)/(2 a b)

Prontinho! Conseguimos😉

Resposta

(pi)/(2 a b)

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