Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 20

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^4 (d x)/(sqrt(4 - x))

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^4 (d x)/(sqrt(4 - x))

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^4 (d x)/(sqrt(4 - x)) = underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/(sqrt(4 - x))

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através do método da substituição simples com:

u = 4 - x , t a l q u e d u = - d x

Teremos:

Quando x = a -> u = 4 - a

Quando x = 0 -> u = 4

Logo:

underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/(sqrt(4 - x)) = underset(a -> 4^-)(lim) int_4^(4 - a) (- d u)/(sqrt(u))

E resolvendo a integral:

underset(a -> 4^-)(lim) int_4^(4 - a) (- d u)/(sqrt(u)) = - underset(a -> 4^-)(lim) [2 sqrt(u)] | [[4,-,a],[4]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/(sqrt(4 - x)) = - 2 underset(a -> 4^-)(lim) [sqrt(4 - a) - sqrt(4)]

Logo:

underset(a -> 4^-)(lim) int_0^a (d x)/(sqrt(4 - x)) = - 2 (0 - 2) = 4

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

int_0^4 (d x)/(sqrt(4 - x)) = 4

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