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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 68

Calcule a integral.

int (d x)/(x (x^2 + x + 1))

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Pra começar a gente pode tentar fatorar esse polinômio aí debaixo. Só que essa belezinha não tem raiz! Ou seja, ele é irredutível. Não há o que fazer com ele então...

A gente vai usar frações parciais então, com o caso com 1 fator linear e um fator quadrático irredutível.

Vai ficar assim:

(1)/(x (x^2 + x + 1)) = (A)/(x) + (B x + C)/(x^2 + x + 1)

Passo 2

Vamos lá então, a gente precisa achar esses A , B e C aí.

Se multiplicar os dois lados por x (x^2 + x + 1) vai ficar:

1 = A (x^2 + x + 1) + (B x + C) ( x )

Aí a gente desenvolve...

1 = A x^2 + A x + A + B x^2 + C x

1 = x^2 (A + B) + x (A + C) + A

Pra isso ser verdade, a gente precisa:

{[[A + B = 0],[A + C = 0],[A = 1]])

Ótimo! Daqui a gente tira que:

A = 1 ; B = - 1 e C = - 1

Passo 3

Reescrevendo nossa fração então temos:

(1)/(x (x^2 + x + 1)) = (1)/(x) - (1 - x)/((x^2 + x + 1))

Nossa integral então pode ser separada em:

int (1)/(x) d x + int (- 1 - x)/(x^2 + x + 1) d x

A primeira a gente sabe que é:

int (1)/(x) d x = ln x

E a segunda...

Passo 4

int (- 1 - x)/(x^2 + x + 1) d x

Vamos separar em:

int - (1)/(x^2 + x + 1) d x - int (x)/(x^2 + x + 1) d x

Vamos focar nessa aqui primeiro:

int - (1)/(x^2 + x + 1) d x

Vamos completar o quadrado na função debaixo:

int - (1)/((x + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x

E fazendo uma substituição u = x + (1)/(2) -> d u = 1 d x :

- int (1)/(u^2 + (3)/(4)) d u

Isso aqui é integral de a r c t g x . No nosso caso vai ser:

= - (2)/(sqrt(3)) a r c t g ((2 u)/(sqrt(3)))

E voltando pra x :

= - (2)/(sqrt(3)) a r c t g (2 x + 1)/(sqrt(3)) + C

Passo 5

Agora falta a integral:

int (x)/(x^2 + x + 1) d x

Vamos completar o quadrado igual na outra:

int (x)/((x + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x

E aí a gente substitui:

u = x + (1)/(2) -> d u = 1 d x

int (u - (1)/(2))/(u^2 + (3)/(4)) d u

2 int (2 u - 1)/(4 u^2 + 3) d u

2 [int (2 u)/(4 u^2 + 3) d u - int (1)/(4 u^2 + 3) d u]

Resolvendo agora essas integrais:

2 [(1)/(4) ln |4 u^2 + 3| - (1)/(2 sqrt(3)) a r c t g ((2)/(sqrt(3)) u)]

Aí a gente volta pra variável x :

[(1)/(2) ln |4 (x + (1)/(2))^2 + 3| - (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((2)/(sqrt(3)) (x + (1)/(2)))] + K

Passo 6

Agora a gente só tem que juntar todas as respostas que encontramos...

int (d x)/(x (x^2 + x + 1))

= ln x - (2)/(sqrt(3)) a r c t g (2 x + 1)/(sqrt(3)) - [(1)/(2) ln |4 (x + (1)/(2))^2 + 3| - (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((2)/(sqrt(3)) (x + (1)/(2)))] + C

Essa ficou gigante né?! Mas é isso! conseguimos😉

Resposta

ln x - (2)/(sqrt(3)) a r c t g (2 x + 1)/(sqrt(3)) - [(1)/(2) ln |4 (x + (1)/(2))^2 + 3| - (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((2)/(sqrt(3)) (x + (1)/(2)))] + C

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