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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 101

Calcule a integral definida abaixo:

int_1^e (1)/(x) ( 1 + 7 ln x )^(- (1)/(3)) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_1^e (1)/(x) ( 1 + 7 ln x )^(- (1)/(3)) d x

u = 1 + 7 ln x d u = (7)/(x) d x => (d u)/(7) = (1)/(x) d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante temos:

int_1^e (1)/(x) ( 1 + 7 ln x )^(- (1)/(3)) d x = int_1^e u^(- (1)/(3)) (d u)/(7) = (1)/(7) int_1^e u^(- (1)/(3)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

(1)/(7) int_1^e u^(- (1)/(3)) d u = ((u^((2)/(3)))/((2)/(3))) (e)/(1) = (1)/(4) xx (3)/(2) ( u^((2)/(3)) ) (e)/(1)

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

(3)/(14) ( u^((2)/(3)) ) (e)/(1) = (3)/(14) ([ 1 + 7 ln x ]^((2)/(3))) (e)/(1)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(3)/(14) ([ 1 + 7 ln x ]^((2)/(3))) (e)/(1) = (3)/(14) ( [ 1 + 7 ln e ]^((2)/(3)) - [ 1 + 7 ln 1 ]^((2)/(3)) =

= (3)/(14) (root(3)(8^2) - root(3)(1^2)) = (3)/(14) (4 - 1) = (9)/(14)

Resposta

(9)/(14)

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