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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 93

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^((pi)/(2)) (3 s e n (x) cos ( x ))/(sqrt(1 + 3 s e n^2 (x))) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^((pi)/(2)) (3 s e n (x) cos ( x ))/(sqrt(1 + 3 s e n^2 (x))) d x

u = s e n ( x ) d u = cos (x) d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_0^((pi)/(2)) (3 s e n (x) cos ( x ))/(sqrt(1 + 3 s e n^2 (x))) d x = int_0^((pi)/(2)) (3 u)/(sqrt(1 + 3 u^2)) d u = 3 int_0^((pi)/(2)) (u)/(sqrt(1 + 3 u^2)) d u

Passo 3

Efetuando uma nova substituição, temos:

v = 1 + 3 u^2

d v = 6 u d u => (d v)/(6) = u d u

3 int_0^((pi)/(2)) (u)/(sqrt(1 + 3 u^2)) d u = 3 int_0^((pi)/(2)) (1)/(6 sqrt(v)) d v = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) v^(- (1)/(2)) d

Passo 4

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

(1)/(2) int_0^((pi)/(2)) v^(- (1)/(2)) d v = (1)/(2) ((v^((1)/(2)))/((1)/(2))) ((pi)/(2))/(0)

Passo 5

Substituindo u e v pelas funções que atribuímos respectivamente, temos:

(1)/(2) ((v^((1)/(2)))/((1)/(2))) ((pi)/(2))/(0) = (1)/(2) xx 2 (sqrt(1 + 3 u^2)) ((pi)/(2))/(0) = (sqrt(1 + 3 s e n^2 (x))) ((pi)/(2))/(0)

Passo 6

Vamos agora substituir os limites de integração . Relembrando que de forma genérica a substituição dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Logo, temos que:

(sqrt(1 + 3 s e n^2 (x))) ((pi)/(2))/(0) = sqrt(1 + 3 s e n^2 ((pi)/(2))) - sqrt(1 + 3 s e n^2 (0)) = sqrt(1 + 3) - sqrt(1) = 2 - 1 = 1

Resposta

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