Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 107

Calcule a integral definida abaixo:

int_(- 2)^2 (3)/(4 + 3 t^2) d t

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir x por uma função de u e que resulte em um dx=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

int_(- 2)^2 (3)/(4 + 3 t^2) d t

t = (2)/(sqrt(3)) ( u ) d t = (2)/(sqrt(3)) d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

2 = (2)/(sqrt(3)) (u) => sqrt(3) = u

- 2 = (2)/(sqrt(3)) (u) => - sqrt(3) = u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a contasnte do integrando temos:

int_(- 2)^2 (3)/(4 + 3 t^2) d t = 3 int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) (1)/(4 + 3 ((2)/(sqrt(3)) u)^2) (2)/(sqrt(3)) d u

3 xx (1)/(4) xx (2)/(sqrt(3)) int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) (1)/(1 + u^2) d u = (6)/(4 sqrt(3)) int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) (1)/(1 + u^2) d u

Passo 3

Chegamos em uma integral que pode ser resolvida de forma direta, por ser uma primitiva trigonométrica . Assim:

(6)/(4 sqrt(3)) int_(- sqrt(3))^(sqrt(3)) (1)/(1 + u^2) d u = (6)/(4 sqrt(3)) (t g^(- 1) (u)) (sqrt(3))/(- sqrt(3))

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(6)/(4 sqrt(3)) (t g^(- 1) (u)) (sqrt(3))/(- sqrt(3)) = (6)/(4 sqrt(3)) (t g^(- 1) (sqrt(3)) - t g^(- 1) (- sqrt(3))) = (3)/(2 sqrt(3)) ((pi)/(3) + (pi)/(3)) = (pi)/(sqrt(3))

Resposta

(pi)/(sqrt(3))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_0^5 (3 w - 1)/(w + 2) d w
Calcule a integral.int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (1 + 4 cotg x)/(4 - cotg x) d x
Calcule a integral.int (3 x^2 - 2)/(x^3 - 2 x - 8) d x
Calcule a integral.int (1)/(sqrt(4 y^2 - 4 y - 3)) d y
Calcule a integral.int (1 + cos x)/(sen x) d x