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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 37

Use a fórmula 11 para resolver o problema de valor inicial.

d y d x = sec 2 ⁡ ( x ) - s i n ⁡ ( x ) , y π 4 = 1

Passo 1

A fórmula para esse tipo de problema é:

y x = y 0 + ∫ x 0 x f ( t ) d t

Nesse caso, temos:

x 0 = π 4

y 0 = 1

f t = sec 2 ⁡ ( t ) - s i n ⁡ ( t )

Então:

y x = 1 + ∫ π 4 x sec 2 ⁡ ( t ) - s i n ⁡ ( t ) d t

Passo 2

Resolvendo essa integral:

∫ π 4 x sec 2 ⁡ ( t ) - s i n ⁡ ( t ) d t = tan ⁡ x - tan ⁡ π 4 + cos ⁡ x - cos ⁡ π 4

∴

∫ π 4 x sec 2 ⁡ ( t ) - s i n ⁡ ( t ) d t = tan ⁡ x - cos ⁡ x - 1 - 2 2

Passo 3

Voltando na fórmula:

y x = 1 + ∫ π 4 x sec 2 ⁡ ( t ) - s i n ⁡ ( t ) d t

∴

y x = tan ⁡ x - cos ⁡ x - 2 2

Resposta

y x = tan ⁡ x - cos ⁡ x - 2 2

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