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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 25

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_0^1 x ln x d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por partes . Esse método é aplicado quando temos duas funções distintas (trigonométricas, logarítmica, polinomial, exponencial, etc), sendo uma delas “fácil” de integrar e a outra “mais difícil” de integrar. Desse modo você chama uma função de f(x) e a outra de g’(x) . A sua f(x) você irá derivar (encontrando sua f’(x) ) e a sua g’(x) você irá integrar (encontrando sua g(x) ) e depois efetuar a seguinte operação:

int f (x) g ' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Assim:

f (x) = ln x f^' (x) = (1)/(x)

g^' (x) = x g (x) = (x^2)/(2)

int_0^1 x ln x d x = ( ln x xx (x^2)/(2) ) (1)/(0) - int_0^1 (1)/(x) xx (x^2)/(2) d x = ( ln x xx (x^2)/(2) ) (1)/(0) - (1)/(2) int_0^1 x d x

Passo 2

Agora utilizaremos a a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

( ln x xx (x^2)/(2) ) (1)/(0) - (1)/(2) int_0^1 x d x = ( ln x xx (x^2)/(2) ) (1)/(0) - (1)/(2) ((x^2)/(2)) (1)/(0)

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

( ln x xx (x^2)/(2) ) (1)/(0) - (1)/(2) ((x^2)/(2)) (1)/(0) = [ ( ln 1 xx (1)/(2) ) - ( ln 0 xx 0 ) ] - (1)/(2) ((1)/(2) - 0) = 0 - (1)/(4) = - (1)/(4)

Resposta

- (1)/(4)

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