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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 31

Se f for uma função densidade de probabilidade, então a média (ou valor médio) das probabilidades será dada por

∫ - ∞ + ∞ x f x d x

Ache a média das probabilidades obtidas da função:

f k e - k x s e x ≥ 0 0 s e x < 0

Passo 1

Temos que calcular:

∫ - ∞ + ∞ x f x d x

Para função que ele deu. Para isso, devemos fazer

∫ - ∞ + ∞ x f x d x = ∫ - ∞ 0 x 0 d x + ∫ 0 + ∞ x k e - k x   d x

∫ - ∞ + ∞ x f x d x = ∫ 0 + ∞ x k e - k x   d x

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ 0 + ∞ k x e - k x   d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b k x e - k x   d x

∫ - ∞ + ∞ x f x d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b k x e - k x   d x

Devemos achar a integral indefinida

∫ k x e - k x   d x

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ k x e - k x   d x

Vamos usar integração por partes. Onde fazemos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Lembrando do LIATE para escolher o u , temos uma função algébrica ali, então

u = k x → d u = k d x  

E

d v = e - k x → v = - 1 k e - k x

Assim, nossa integral fica:

∫ k x e - k x   d x = k x - 1 k e - k x - ∫ - 1 k e - k x k d x

∫ k x e - k x   d x = - x e - k x + ∫ e - k x d x

∫ k x e - k x   d x = - x e - k x - 1 k e - k x + C

Passo 3

Vamos olhar cada limite separadamente agora:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b k x e - k x   d x = lim b → + ∞ ⁡ - x e - k x - 1 k e - k x 0 b =

lim a → + ∞ ⁡ - b e - k b - 1 k e - k b - - 0 e - k 0 - 1 k e - k 0 = lim b → + ∞ ⁡ - b e - k b - 1 k e - k b + 1 k

= lim b → + ∞ ⁡ - b e - k b + 0 + 1 k

Aquele limite que sobrou da indeterminação, vamos usar L’Hospital

lim b → + ∞ ⁡ - b e - k b = lim b → + ∞ ⁡ - b e k b = - ∞ ∞

lim b → + ∞ ⁡ - b e k b = lim b → + ∞ ⁡ - b ' e k b ' = lim b → + ∞ ⁡ - 1 k e k b = 0

Logo, a nossa integral fica

1 k

Resposta

1 k

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