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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 31

Calcule a intefral abaixo sem usar tabela:

int_(- 1)^4 (d x)/(sqrt(|x|))

Passo 1

Primeiro devemos encontrar as expressões equivalentes a (1)/(sqrt(|x|)) em - 1 <= x <= 4 sem os valores absolutos.Assim, temos que:

Para - 1 <= x <= 0 : (1)/(sqrt(- x)) e para 0 <= x <= 4 : (1)/(sqrt(x))

Logo, podemos reescrever nossa integral da seguinte maneira:

int_(- 1)^4 (d x)/(sqrt(|x|)) = int_(- 1)^0 (1)/(sqrt(- x)) d x + int_0^4 (1)/(sqrt(x)) d x

Passo 2

Aplicando a integração por substituição na primeira integral e a regra da potência na primeira e segunta integral, temos:

int_(- 1)^0 (1)/(sqrt(- x)) d x => u = - x e d u = - d x => int_(- 1)^0 - (1)/(sqrt(u)) d u =

= int_(- 1)^0 - u^(- (1)/(2)) d u = (- ((u^((1)/(2)))/(1))/(2)) (0)/(- 1) = (- 2 sqrt(- x )) (0)/(- 1)

int_0^4 (1)/(sqrt(x)) d x = int_0^4 x^(- (1)/(2)) d x = ((x^((1)/(2)))/((1)/(2))) (4)/(0) = (2 sqrt(x)) (4)/(0)

Lembre-se que a integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

E que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(- 2 sqrt(- x )) (0)/(- 1) + (2 sqrt(x)) (4)/(0) = (0 - (- 2 sqrt(1))) + (2 sqrt(4) - 0) = 2 + 4 = 6

Resposta

6

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