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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 10

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_(- oo)^2 (2)/(x^2 + 4) d x

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em ( - oo , b ] , então:

int_(- oo)^b f (x) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^b f ( x ) d x

Assim:

int_(- oo)^2 (2)/(x^2 + 4) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^2 (2)/(x^2 + 4) d x

Passo 2

Integrando, temos:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^2 (2)/(x^2 + 4) d x = underset(a -> - oo)(lim) t g^(- 1) ((x)/(2)) (​|_b^2 = underset(a -> - oo)(lim) t g^(- 1) (1) - t g^(- 1) ((b)/(2))

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 3

Aplicando o limite, temos:

underset(a -> - oo)(lim) t g^(- 1) (1) - t g^(- 1) ((b)/(2)) = (pi)/(4) - (- (pi)/(2)) = (3 pi)/(4)

Resposta

(3 pi)/(4)

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