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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 80

Determine d p // d q da seguinte expressão q = ( 5 p^2 + 2 p )^(- 3 // 2)

Passo 1

Para obtermos d p // d q , derivamos em q ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

(d)/(d q) ( q ) = (d)/(d q) ( 5 p^2 + 2 p )^(- 3 // 2)

Passo 2

Aplicando a regra da potência no termo a esquerda teremos como resultado 1. Já aplicando a regra da cadeia no termo da direita resultará em:

(d q)/(d q) = ( 5 p^2 + 2 p )^(- 3 // 2 - 1) (d)/(d q) ( 5 p^2 ) + (d)/(d q) ( 2 p ) -> 1 = ( 5 p^2 + 2 p )^(- 5 // 2) ( 5.2 (d p)/(d q) + 2 (d p)/(d q) )

Reparem que no segundo e terceiro termo a direita teremos duas derivações implícitas (d p)/(d q) .

Passo 3

Assim, podemos inverter de posição a expressão, a fim de isolar a derivada implícita.

- (3)/(2) ( 5 p^2 + 2 p )^(- 5 // 2) ( 10 p (d p)/(d q) + 2 (d p)/(d q) ) = 1

Pondo em evidência 2 (d p)/(d q) e passando a expressão - (3)/(2) ( 5 p^2 + 2 p )^(- 5 // 2) para o lado direito teremos :

2 (d p)/(d q) ( 5 p + 1 ) = (2)/(3) ( 5 p^2 + 2 p )^(5 // 2)

Resposta

Simplificando o termo semelhante 2, e passando o termo ( 5 p + 1 ) dividindo para o lado direito, o resultado será:

(d p)/(d q) = (( 5 p^2 + 2 p )^(5 // 2))/(3 ( 5 p + 1 ))

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