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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 42

Calcule a integral abaixo:

42 –

int (s e n theta)/(cos^2 theta + cos theta - 2) d theta

Passo 1

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = cos theta

d u = - s e n theta d theta

d theta = (1)/(d u) = - (1)/(s e n theta)

Substituindo:

int (s e n theta)/(u^2 + u - 2) * - (1)/(s e n theta) d u = - int (1)/(u^2 + u - 2) d u

u^2 + u - 2 = ( u + 2 ) ( u - 1 )

Assim:

- int (1)/(( u + 2 ) ( u - 1 )) d u

Resolvendo pelo método de frações parciais:

(1)/(( u + 2 ) ( u - 1 )) = (A)/(u + 2) + (B)/(u - 1)

Resolvendo mmc:

(1)/((u + 2) (u - 1)) = (A (u - 1) + B ( u + 2 ))/(( u + 2 ) ( u - 1 ))

Podemos cortar os denominadores, assim teremos:

1 = A (u - 1) + B ( u + 2 )

Resolvendo a multiplicação:

1 = A u - A + B u + 2 B

Colocando em evidência:

1 = (A + B) u - A + 2 B

Assim:

A + B = 0

- A + 2 B = 1

Fazendo na primeira equação:

A = - B

Substituindo na segunda:

- (- B) + 2 B = 1 ; B + 2 B = 1 ; 3 B = 1 ; B = (1)/(3)

Assim como: A = - B ; A = - ((1)/(3)) ; A = - (1)/(3)

Assim:

(1)/(( u + 2 ) ( u - 1 )) = (- (1)/(3))/(u + 2) + ((1)/(3))/(u - 1)

(1)/(( u + 2 ) ( u - 1 )) = - (1)/(3 (u + 2)) + (1)/(3 ( u - 1 ))

Substituindo na integral:

int (1)/(3) (- (1)/(u + 2) + (1)/(u - 1)) d u

Passo 2

Separando as integrais:

(1)/(3) (int - (1)/(u + 2) d u + int (1)/(u - 1) d u)

Resoolvendo a primeira integral:

int - (1)/(u + 2) d u = - (1)/(3) ln (|u + 2|)

Resolvendo a segunda integral:

(1)/(3) ln (|u - 1|)

Passo 3

Juntando os resultados das integrais:

- (1)/(3) ln (|u + 2|) + (1)/(3) ln (|u - 1|)

Juntando os resultados obtidos, para u = c o s theta

- (1)/(3) ln (|cos theta + 2|) + (1)/(3) ln (|cos theta - 1|) + C = - (1)/(3) ln (|(cos theta - 1)/(cos theta + 2)|) + C

Resposta

- (1)/(3) ln (|(cos theta - 1)/(cos theta + 2)|) + C

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