Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 12

Calcule a integral.

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, vai ser preciso fatorar o denominador achando as raízes de :

Usando Bhaskara:

Temos então:

Assim ficamos com:

Agora é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

Passo 2

Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

Isolando na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

Assim achamos :

Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:

Pronto, agora vamos resolver as duas separadamente.

Passo 3

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar:

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa com a segunda, vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

Fazendo a substituição ficamos com:

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar:

Passo 5

Juntando temos:

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: