Calcule a integral.

∫ x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 )   d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa integral.

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais.

Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, podemos fazer a decomposição diretamente:

x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 x 2 + 1 = A x - 1 + B x - 1 2 + C x + D x 2 + 1

Passo 2

Assim,

x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 ) = A x - 1 x 2 + 1 + B x 2 + 1 + C x + D x - 1 2 x - 1 2 ( x 2 + 1 )

Portanto podemos retirar os denominadores:

A + C x 3 + - A + B - 2 C + D x 2 + A + C - 2 D x + ( - A + B + D ) = x 2 - 2 x - 1

Devemos ter A + C = 0 pois não temos termo x 3 , então C = - A . Portanto, temos que resolver o sistema:

A + C = 0

- A + B - 2 C + D = 1

A + C - 2 D = - 2

- A + B + D = - 1

A = - C

- A + B + D = 1 + 2 C

- C + C - 2 D = - 2

- A + B + D = - 1

A = - C

- 1 = 1 + 2 C

- 2 D = - 2

- A + B + D = - 1

A = - C

C = - 1

D = 1

- A + B + 1 = - 1

A = - C

C = - 1

D = 1

- A + B + 1 = - 1

A = 1

C = - 1

D = 1

- 1 + B + 1 = - 1

A = 1

C = - 1

D = 1

B = - 1

x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 ) = 1 x - 1 - 1 x - 1 2 - x x 2 + 1 + 1 x 2 + 1

Passo 3

Agora integrando cada um,

∫ x x 2 + 1 d x

u = x 2 + 1

d u = 2 x d x

1 2 ∫ d u u = ln ⁡ u

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1

∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x

Para

∫ 1 x - 1 2 d x

s = x - 1

d s = d x

∫ 1 s 2 d s

= - 1 s

= - 1 x - 1

Assim,

∫ x 2 - 2 x - 1 x - 1 2 ( x 2 + 1 )   d x = ln ⁡ | x - 1 | + 1 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + a r c t g   x + C

Resposta

ln ⁡ | x - 1 | + 1 x - 1 - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + a r c t g   x + C

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