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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 28

Calcule a integral.

int (x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) d x

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa integral.

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais.

Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, podemos fazer a decomposição diretamente:

(x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 (x^2 + 1)) = (A)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2) + (C x + D)/(x^2 + 1)

Passo 2

Assim,

(x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) = (A (x - 1) (x^2 + 1) + B (x^2 + 1) + (C x + D) (x - 1)^2)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 ))

Portanto podemos retirar os denominadores:

(A + C) x^3 + (- A + B - 2 C + D) x^2 + (A + C - 2 D) x + ( - A + B + D ) = x^2 - 2 x - 1

Devemos ter A + C = 0 pois não temos termo x^3 , então C = - A . Portanto, temos que resolver o sistema:

A + C = 0

- A + B - 2 C + D = 1

A + C - 2 D = - 2

- A + B + D = - 1

A = - C

- A + B + D = 1 + 2 C

- C + C - 2 D = - 2

- A + B + D = - 1

A = - C

- 1 = 1 + 2 C

- 2 D = - 2

- A + B + D = - 1

A = - C

C = - 1

D = 1

- A + B + 1 = - 1

A = - C

C = - 1

D = 1

- A + B + 1 = - 1

A = 1

C = - 1

D = 1

- 1 + B + 1 = - 1

A = 1

C = - 1

D = 1

B = - 1

(x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) = (1)/(x - 1) - (1)/((x - 1)^2) - (x)/(x^2 + 1) + (1)/(x^2 + 1)

Passo 3

Agora integrando cada um,

int (x)/(x^2 + 1) d x

u = x^2 + 1

d u = 2 x d x

(1)/(2) int (d u)/(u) = ln u

int (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) ln (x^2 + 1)

int (1)/(x^2 + 1) d x = a r c t g x

Para

int (1)/((x - 1)^2) d x

s = x - 1

d s = d x

int (1)/(s^2) d s

= - (1)/(s)

= - (1)/(x - 1)

Assim,

int (x^2 - 2 x - 1)/((x - 1)^2 ( x^2 + 1 )) d x = ln | x - 1 | + (1)/(x - 1) - (1)/(2) ln (x^2 + 1) + a r c t g x + C

Resposta

ln | x - 1 | + (1)/(x - 1) - (1)/(2) ln (x^2 + 1) + a r c t g x + C

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