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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 38

No exercício abaixo, realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.

38 –

∫ 2 y 4 y 3 - y 2 + y - 1 d x

Passo 1

No primeiro passo realizaremos a divisão de polinômios:

Assim temos:

∫ 2 y + 2 + 2 y 3 - y 2 + y - 1

Colocando y em evidência, tomamos que:

y 3 - y 2 + y - 1 = y 2 + 1 y - 1

Analisando o polinômio vimos que o seu maior grau é o 3, logo terá 3 letras para substituição, porém o possui coeficiente irredutível, assim teremos que escrever nossa fração da seguinte forma:

2 ( y 2 + 1 ) ( y - 1 ) = A y - 1 + B y + C y 2 + 1

Agora tiramos o mínimo múltiplo comum da operação, observe:

2 ( y 2 + 1 ) ( y - 1 ) = A y 2 + 1 + ( B y + C ) ( y - 1 ) ( y 2 + 1 ) ( y - 1 )

Podemos cortar os denominadores:

2 = A y 2 + 1 + ( B y + C ) ( y - 1 )

Aplicando a multiplicação distributiva:

2 = A y 2 + A + B y 2 - B y + C y - C

Organizando os fatores comuns:

2 = A + B y 2 + - B + C y + A - C

Observamos que a possui apenas a constante, que podemos representar da seguinte forma:

0 y 2 + 0 y + 2 =   A + B y 2 + - B + C y + A - C

Desta forma:

A + B = 0

- B + C = 0

A - C = 2

Se:

A - C = 2 então: - C = 2 - A ; C = A - 2

Substituindo na segunda equação temos:

- B + A - 2 = 0 ;   - B = - A + 2 ; B = A - 2 logo B = C

Substituindo na primeria equação:

A - 2 + A = 0 ; 2 A - 2 = 0 ; 2 A = 2   ; A = 2 2 ; A = 1

Para A = 1 ,   B = A - 2 ; B = 1 - 2 ; B = - 1 ; B = C ; C = - 1

Logo temos: A = 1   ; B = - 1 ; C = - 1

Substituindo A, B e C na fração, temos:

2 ( y 2 + 1 ) ( y - 1 ) = 1 y - 1 + - y - 1 y 2 + 1 = 1 y - 1 - y y 2 + 1 - 1 y 2 + 1

Passo 2

Agora vamos substituir na Integral:

∫ 2 y + 2 + 1 y - 1 - y y 2 + 1 - 1 y 2 + 1 =   ∫ 2 y   d y +   ∫ 2   d y +   ∫ 1 y - 1 d y - ∫ y y 2 + 1 d y - ∫ 1 y 2 + 1 d y

Resolvendo a primeira integral temos:

∫ 2 y   d y = 2 y 2 2 = y ²

Resolvendo a segunda integral:

∫ 2   d y = 2 y

Resolvendo a terceira integral:

∫ 1 y - 1 d y = ln ⁡ y - 1

Resolvendo a quarta integral:

- ∫ y y 2 + 1 d y

Utilizaremos o método de substituição:

u = y 2 + 1

d u = 2 y

d y = 1 d u = 1 2 y

Assim: para u = y 2 + 1

- ∫ y u ⋅ 1 2 y   d u = - 1 2 ∫ 1 u d u = - 1 2 ln ⁡ u = - 1 2 ln ⁡ y 2 + 1  

Resolvendo a quinta integral:

- ∫ 1 y 2 + 1 d y =   - t g - 1 y

Atenção: Verificar tabela de substituição trigonométrica no final do livro.

Passo 3

Juntando os resultados obtidos, teremos:

y 2 + 2 y + ln ⁡ y - 1 - 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 - t g - 1 y + C

Resposta

y 2 + 2 y + ln ⁡ y - 1 - 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 - t g - 1 y + C

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