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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 46

Calcule a integral ∫ x   . e x d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos primeiro o método da substituição. Em seguida usaremos integração tabular, que é um caso de repetição da integração por partes.

Passo 2

Vamos começar com uma substituição:

y =   x

d y = x ' d x

d y = 1 2 . 1 x   d x

d x = 2 . x   d y

∫ x   . e x d x =   ∫ x   . e x 2 . x   d y

=   ∫ 2 . x 2   . e x   d y

=   ∫ 2 . y 2   . e y   d y

Passo 3

Agora usaremos a integração tabular. Separamos ∫ 2 . y 2   . e y   d y em f(x) = 2 . y 2 e g(x) = e y , e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

∫ 2 . y 2   . e y   d y = 2 y 2 . e y - 4 y . e y + 4 . e y

= e y ( 2 y 2 - 4 y + 4 )

Substituímos y = x

= e y ( 2 y 2 - 4 y + 4 )

=   e x ( 2 x 2 - 4 x + 4 )

=   e x 2 x - 4 x + 4 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x   . e x d x   =   e x 2 x - 4 x + 4 + c

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