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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 29

Calcule a integral definida:

int_1^2 ((t + 2) d t)/(sqrt(4 t - t^2))

Passo 1

Pessoal, temos uma integral definida para resolver, podemos fazer de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Este tipo de integral precisa de uma manipulação na expressão que está no denominador. Precisaremos completar o quadrado para depois usar uma substituição.

4 t - t^2 = - ( t^2 - 4 t )

Agora eu vou somar b^2 e – b^2 para não alterar a expressão.

- (t^2 - 4 t + b^2 - b^2) = - (t^2 - 4 t + b^2) + b^2

Para o que está em azul virar (t - b)^2 , eu preciso que o meu b , seja igual ao coeficiente do t , dividido por 2, ou seja, b = (4)/(2) = 2 . Sendo assim,

- (t^2 - 4 t + 2^2) + 2^2

- (t^2 - 4 t + 4) + 4

- (t - 2)^2 + 4

Fechou então, vamos trocar a expressão da integral e ir para próxima etapa.

int_1^2 ((t + 2) d t)/(sqrt(4 t - t^2)) = int_1^2 ((t + 2) d t)/(sqrt(4 - (t - 2)^2))

Passo 2

Agora faremos uma substituição, já que aparece t - 2 , no numerador e na raiz.

Faremos a substituição u = t - 2 e derivando temos d u = d t .

Aproveitamos essa substituição e trocamos os limites de integração da seguinte forma:

Passo 3

Agora para trocar a variável, nós temos que:

u = t - 2 -> t + 2 = u + 4

Basta substituir então.

int_1^2 ((t + 2) d t)/(sqrt(4 - (t - 2)^2)) = int_(- 1)^0 (( u + 4 ) d u)/(sqrt(4 - u^2))

Agora vou separar em duas integrais, ok?

int_(- 1)^0 (( u + 4 ) d u)/(sqrt(4 - u^2)) = int_(- 1)^0 (u d u)/(sqrt(4 - u^2)) + int_(- 1)^0 (4 d u)/(sqrt(4 - u^2))

Pronto, agora resolveremos uma de cada vez!

Passo 4

Vamos resolver a primeira e para isso faremos a substituição h = 4 - u^2 que implica em d h = - 2 u d u , após derivar.

Temos u d u , na integral. Vamos dividir tudo por - 2 então, daí:

(d h)/(- 2) = u d u

Vamos também trocar os limites de integração:

Agora podemos trocar tudo na integral.

I_1 = int_(- 1)^0 (u d u)/(sqrt(4 - u^2)) = int_3^4 (((d h)/(- 2)))/(sqrt(h)) = (1)/(- 2) int_3^4 (d h)/(sqrt(h)) = - (1)/(2) int_3^4 h^(- (1)/(2)) d h

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

I_1 = - (1)/(2) int_3^4 h^(- (1)/(2)) d h = [- (1)/(2) ((h^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1))]_3^4 = [- (1)/(2) ((sqrt(h))/((1)/(2)))]_3^4 = [- sqrt(h)]_3^4 = - sqrt(4) - (- sqrt(3))

I_1 = - (1)/(2) int_3^4 h^(- (1)/(2)) d h = - 2 + sqrt(3)

Apenas usamos a integral de um polinômio com n = - (1)/(2) .

Passo 5

Agora vamos resolver a segunda integral:

I_2 = int_(- 1)^0 (4 d u)/(sqrt(4 - u^2))

A primeira coisa é deixar o que está dentro do denominador parecido com 1 - u^2 . Para isso vamos deixar o 4 em evidência e manipular da seguinte forma:

int_(- 1)^0 (4 d u)/(sqrt(4 - u^2)) = int_(- 1)^0 (4 d u)/(sqrt(4 (1 - (u^2)/(4)))) = int_(- 1)^0 (4 d u)/(2 sqrt(1 - (u^2)/(2^2))) = (1)/(2) int_(- 1)^0 (4 d u)/(sqrt(1 - ((u)/(2))^2))

Agora fazemos uma substituição (u)/(2) = x -> (d u)/(2) = d x -> 4 d u = 8 d x e depois trocamos os limites de integração:

Substituindo na integral ficamos com:

I_2 = (1)/(2) int_(- 1)^0 (4 d u)/(sqrt(1 - ((u)/(2))^2)) = (1)/(2) int_(- (1)/(2))^0 (8 d x)/(sqrt(1 - x^2)) = 4 int_(- (1)/(2))^0 (d x)/(sqrt(1 - x^2))

Podemos resolver agora a integral:

I_2 = 4 int_(- (1)/(2))^0 (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = [4 sen^(- 1) x]_(- (1)/(2))^0 = 4 sen^(- 1) 0 - 4 sen^(- 1) - (1)/(2)

I_2 = sen^(- 1) 0 - 4 sen^(- 1) (- (1)/(2)) = 0 - 4 (- (pi)/(6)) = (2)/(3) pi

Lembrando que o arco cujo seno é - (1)/(2) é o arco de - (pi)/(6) radianos.

Passo 6

Agora vamos substituir tudo na integral:

int_(- 1)^0 (( u + 4 ) d u)/(sqrt(4 - u^2)) = int_(- 1)^0 (u d u)/(sqrt(4 - u^2)) + int_(- 1)^0 (4 d u)/(sqrt(4 - u^2))

int_(- 1)^0 (( u + 4 ) d u)/(sqrt(4 - u^2)) = - 2 + sqrt(3) + (2)/(3) pi

Ufa! Grande essa, hein. Lembre-se sempre de fazer passo a passo cada integral e essa também poderia ser feita de outra forma: resolvendo a indefinida e no final substituindo os limites de integração da variável original.

Resposta

int_1^2 ((t + 2) d t)/(sqrt(4 t - t^2)) = - 2 + sqrt(3) + (2)/(3) pi

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