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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 39

Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pela curva de y = senh ⁡ x , pelo eixo x , e pelas retas x = 0 e x = ln ⁡ 2 , em torno do eixo x .

Passo 1

Pessoal, como vai ser a rotação em torno do eixo x e temos uma função na variável x , está perfeito para usarmos o método dos discos e arruelas, ok?

Agora para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o volume sólido obtido pela rotação da curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

V = ∫ a b π f x 2 d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos do intervalo de integração para montar a integral. O intervalo de integração será de x = 0 até x = ln ⁡ 2 , abscissas dadas no enunciado.

Sendo assim, o volume é dado por:

V = ∫ 0 ln ⁡ 2 π senh ⁡ x 2 d x = π ∫ 0 ln ⁡ 2 senh ⁡ x d x

Passo 3

Já podemos resolver a integral. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

V = π ∫ 0 ln ⁡ 2 senh ⁡ x d x = π ( cosh ⁡ ( ln ⁡ 2 ) - cosh ⁡ 0 )

Aqui usamos o fato de cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x , a primitiva que precisávamos.

Passo 4

Pessoal, cosh ⁡ x = ( e x + e - x ) 2 . Então

V = π ( e ln ⁡ 2 + e - ln ⁡ 2 ) 2 - ( e 0 + e - 0 ) 2

Usarei as propriedades de logaritmo e ln ⁡ x = x e ln ⁡ x a = a ln ⁡ x .

V = π 2 + 1 2 2 - 1 + 1 2 = π 5 2 - 2   2 = π 1 2 2 = π 4   u . v

Sendo assim, o volume é   V = π 4   u . v .

Resposta

V = π 4   u . v

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A região sob a curva y = t g 2 x de 0 a π / 4 é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante.
Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. y = t g 3 x ,y = 1 ,x = 0 ; e mt o r n od oe i x
Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. y = 0 ,y = s e n x ,0 ≤ x ≤ π ; e mt o r n od oy
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .