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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 18

13-30 Calcule a integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

18 ∫ 1 4 1 x x d x

Passo 1

Antes de começarmos a fazer a questão, falarei a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ele é assim:

Se f for contínua em [ a , b ] e F for uma antiderivada de f em [ a , b ] , então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Vamos reescrever essa expressão:

1 x x = 1 x x 1 / 2 = 1 x 3 2 = x - 3 2

Passo 2

Então, nossa ideia é acharmos a antiderivada e para isso faremos a integral indefinida abaixo:

∫ 1 4 1 x x d x = ∫ 1 4 x - 3 2 d x = x - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 + C = x - 1 2 - 1 2 + C = - 2 x - 1 2 + C

Nossa antiderivada é:

F x = - 2 x - 1 2 = - 2 x

Passo 3

Agora vamos calcular a integral definida:

∫ 1 4 1 x x d x = F 4 - F ( 1 )

Lembrando que

F x = - 2 x

Vamos calcular

F 4 = - 2 4 = - 2 2 = - 1

F 1 = - 2 1 = - 2

Voltando para a integral definida:

∫ 1 4 1 x x d x = - 1 - - 2 = - 1 + 2 = 1

Resposta

∫ 1 4 1 x x d x = 1

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