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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 31

Calcule a integral definida

int_0^1 (d x)/(e^x + e^(- x))

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

int (d x)/(e^x + e^(- x))

Vamos começar dando uma algebrizada naquela fração:

(1)/(e^x + e^(- x)) = (1)/(e^x + (1)/(e^x)) = (1)/((e^(2 x) + 1)/(e^x)) = (e^x)/(e^(2 x) + 1)

A integral vai ficar:

int (e^x d x)/(e^(2 x) + 1)

Aquele e^x está pentelhando a vida, vamos usar substituição simples para resolver:

a = e^x -> d a = e^x d x

Vamos ter:

int (e^x d x)/(e^(2 x) + 1) = int (d a)/(a^2 + 1)

Passo 2

Vamos para a integral em a

int (d a)/(a^2 + 1)

Ela vai ser exatamente a integral da tg^(- 1)

int (d a)/(a^2 + 1) = tg^(- 1) a + C

Voltando para x :

tg^(- 1) a + C = tg^(- 1) e^x + C

int (d a)/(e^x + e^(- x)) = tg^(- 1) e^x + C

Passo 3

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

int_0^1 (d x)/(e^x + e^(- x)) = (tg^(- 1) e^x|_0^1 = (tg^(- 1) e^1) - (tg^(- 1) e^0) = tg^(- 1) e - tg^(- 1) 1

Podemos achar o valor de tg^(- 1) 1

x = tg^(- 1) 1 ⟷ tg x = 1

O ângulo que tem tangente igual a 1 é (pi)/(4) , então:

x = (pi)/(4)

E nossa integral fica:

int_0^1 (d x)/(e^x + e^(- x)) = tg^(- 1) e - (pi)/(4)

Resposta

tg^(- 1) e - (pi)/(4)

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