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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 52

Calcule as integrais nos Exercícios 51-56

52

int s e n (2 x) * cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade de senos e cossenos

s e n (a) * cos (b) = (s e n (a + b) + s e n ( a - b ))/(2)

Então podemos reescrever nossa integral assim

int s e n (2 x) * cos (3 x) d x = int (s e n (2 x + 3 x) + s e n ( 2 x - 3 x ))/(2) d x = int (s e n (5 x) + s e n ( - x ))/(2) d x

Passo 3

Para resolver a integral vamos separá-la em duas

int (s e n (5 x) + s e n ( - x ))/(2) d x = (1)/(2) int s e n (5 x) + (1)/(2) int s e n (- x)

Passo 4

Podemos resolver ambas as integrais usando o mesmo método.

Primeiro fazemos uma substituição de variável, onde u é o argumento dentro do seno.

Assim segue

(1)/(2) int s e n (5 x) + (1)/(2) int s e n (- x) = (1)/(2) [(- (1)/(5) cos (x)) + cos (x)] + C

Resposta

(1)/(2) [cos (x) - ((1)/(5) cos (x))] + C

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