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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 73

Calcule a integral definida abaixo:

int_(- 1)^1 (3 x^2 - 4 x + 7) d x

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que :

int_(- 1)^1 3 x^2 d x - int_(- 1)^1 4 x d x + int_(- 1)^1 7 d x

Passo 2

Agora integramos o polinômio e retiramos a constante:

int_(- 1)^1 3 x^2 d x - int_(- 1)^1 4 x d x + int_(- 1)^1 7 d x =

= 3 int_(- 1)^1 x^2 d x - 4 int_(- 1)^1 x d x + 7 int_(- 1)^1 d x = 3 ((x^3)/(3)) (1)/(- 1) - 4 ((x^2)/(2)) (1)/(- 1) + 7 ( x ) (1)/(- 1)

Lembre-se que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

3 ((1)/(3) - (- (1)/(3))) - 4 ((1)/(2) - (1)/(2)) + 7 (1 - (- 1)) = 3 ((2)/(3)) - 0 + 7 (2) = 2 + 14 = 16

Resposta

16

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Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4d x
Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.
Calcule a integral reescrevendo apropriadamente o integrando, se necessário, e então aplique a regra da potência (Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 ). ∫ x 5 / 7 d x
Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação. ∫ 1 + x 2 2 - xd x
Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.