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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 26b

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

26 - y = x 4   e   y = 4 - 3 x 2

B – eixo x.

Passo 1

Primeiramente iremos colocar em função de x, observe:

y = x 4 ⇒ x =   y 4

y = 4 - 3 x 2 ⇒ y - 4 = - 3 x 2 → 3 x 2 = 4 - y ⇒ x =   4 - y 3

Agora vamos plotar um gráfico para as funções do enunciado, assim obteremos:

Analisando o gráfico temos que a primeira equação ocupa uma região que parte dos limites de integração de 1   e   0 . E a segunda parte do ponto 4   e vai até o ponto de intersecção dafigura neste caso o segundo limite de integração será 4   e   1 .

Assim montaremos as funções na integral:

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

V =   ∫ 0 1 2 π y y 4 - - y 4 d y + ∫ 1 4 2 π y 4 - y 3 - - 4 - y 3   d y

Passo 2

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 1 2 π y y 4 - - y 4 d y

2 π ∫ 0 1 y y 4 + y y 4 d y =   2 π ∫ 0 1 2 y y 4 d y = 4 π ∫ 0 1 y y 4   d y

Utilizaremos a substituição utilizando u d u

4 π ∫ 0 1 y y 4   d y = 4 π ∫ 0 1 y ⋅ y 1 4 d y = 4 π ∫ 0 1 y 5 4 d u = 4 π y 5 4 + 1 5 4 + 1 0 1

4 π y 9 4 9 4 0 1 = 4 π 4 y 9 4 9 0 1

Resolvendo os limites de integração:

4 π 4 1 9 4 9 - 4 0 9 4 9 = 4 π 4 9 = 16 9 π

Passo 3

Resolvendo a segunda integral:

∫ 1 4 2 π y 4 - y 3 - - 4 - y 3   d y

2 π ∫ 1 4 y 4 - y 3 + y 4 - y 3 d y = 2 π ∫ 1 4 2 y 4 - y 3 d y = 4 π ∫ 1 4 y 4 - y 3 d y

Utilizando o método de substituição na integral:

u = 4 - y   d u =   - 1 d y   y = 4 - u ,   d y =   - d u

4 π ∫ 1 4 4 - u u 3 ⋅ - 1   d u

- 4 π ∫ 1 4 4 - u ⋅ u 3 d u   = - 4 π ∫ 1 4 4 - u ⋅ u 1 2 3 d u   =   - 4 π 3 ∫ 1 4 4 - u u 1 2   d u

Assim:

- 4 π 3 ∫ 1 4 4 u 1 2 - u 3 2   d u

Resolvendo os limites de integração:

- 4 π 3 4 u 1 2 + 1 1 2 + 1 - u 3 2 + 1 3 2 + 1 1 4 = - 4 π 3 4 u 3 2 3 2 - u 5 2 5 2 1 4 = - 4 π 3 8 u 3 2 3 - 2 u 5 2 5 1 4

Organizando os termos:

- 4 π 3 8 u 3 3 - 2 u 5 5 1 4

Substituindo para u = 4 - y

- 4 π 3 8 4 - y 3 3 - 2 4 - y 5 5 1 4

Substituindo com os limites de integração:

- 4 π 3 8 4 - 4 3 3 - 2 4 - 4 5 5 - 8 4 - 1 3 3 - 2 4 - 1 5 5

- 4 π 3 8 0 3 - 2 0 5 - 8 27 3 - 2 243 5

- 4 π 3 0 - 8 ⋅ 3 3 3 - 2 ⋅ 9 3 5 = - 4 π 3 - 24 3 3 + 18 3 5 = - 4 π 3 - 22 3 5

Assim:

- 4 π 3 ⋅ - 22 3 5 = 88 5 π

Passo 4

Somando o resultado das integrais obteremos o volume solicitado:

16 9 π + 88 5 π = 872 π 45 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

872 π 45 u . v .

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