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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 19

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4   d x

Passo 1

E ae, galerinha! Precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o integrando é a razão entre funções exponenciais com a mesma base x , podemos separar cada divisão e aplicar a propriedade de potenciação adequada para cada um. Logo:

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4   d x = ∫ x 5 x 4 + 2 x 2 x 4 - 1 x 4 d x

E isso resulta em:

= ∫ x + 2 x 2 - 1 x 4 d x = ∫ x + 2 x - 2 - x - 4 d x

Além disso, observando o Teorema 5.2 . 3 , podemos concluir que a integral do nosso caso se encaixa nos casos a , b e c .

Passo 3

Com isso, aplicando o Teorema teremos:

∫ x + 2 x - 2 - x - 4 d x = ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x - ∫ x - 4 d x

Tal que o resultado é:

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4   d x = x 2 2 + 2 x - 2 + 1 ( - 2 + 1 ) - x - 4 + 1 - 4 + 1 + C

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4   d x = x 2 2 - 2 x - 1 + 1 3 x - 3 + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d x x 2 2 - 2 x - 1 + 1 3 x - 3 + C = 2 x 2 - 2 - 1 x - 1 - 1 + 1 3 - 3 x - 3 - 1 + 0

d d x x 2 2 - 2 x - 1 + 1 3 x - 3 + C = x + 2 x - 2 - x - 4 = x + 2 x 2 - 1 x 4

E igualando o denominador:

= x 5 + 2 x 2 - 1 x 4

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ x 5 + 2 x 2 - 1 x 4   d x = x 2 2 - 2 x - 1 + 1 3 x - 3 + C

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