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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 88

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^(pi) t g^2 ((theta)/(3)) d theta

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^(pi) t g^2 ((theta)/(2)) d theta u = (theta)/(3) d u = (1)/(3) d theta => 3 d u = d theta

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_0^(pi) t g^2 ((theta)/(2)) d theta = int_0^(pi) t g^2 (u) xx 3 d u = 3 int_0^(pi) t g^2 (u) d u

Passo 3

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

t g^2 (u) + 1 = sec^2 u

Vamos aplicar também a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que:

3 int_0^(pi) t g^2 (u) d u = 3 int_0^(pi) ( sec^2 (u) - 1 ) d u = 3 int_0^(pi) sec^2 (u) d u - 3 int_0^(pi) d u

Passo 4

Integrando e substituindo u pela função que atribuímos, temos:

3 int_0^(pi) sec^2 (u) d u - 3 int_0^(pi) d u = 3 (t g (u)) (pi)/(0) - 3 (u) (pi)/(0) =

= 3 (t g ((theta)/(3))) (pi)/(0) - 3 ((theta)/(3)) (pi)/(0)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

3 (t g ((theta)/(3))) (pi)/(0) - 3 ((theta)/(3)) (pi)/(0) = 3 (t g ((pi)/(3)) - t g (0)) - 3 ((pi)/(3) - 0) =

= 3 sqrt(3) - pi

Resposta

3 sqrt(3) - pi

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