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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 40

Calcule a integral indefinida.

∫ sin ⁡ t sec 2 ⁡ ( cos ⁡ t ) d t

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular dada por:

∫ sin ⁡ t sec 2 ⁡ ( cos ⁡ t ) d t

Parece complicado?

Perceba que essa função de integração parece muito dificil de ser integrada (ou impossivel)!

Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então bora fazer um monte de questões pra ficarmos craques!

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f t = sin ⁡ t sec 2 ⁡ cos ⁡ t

Podemos usar a função dentro da secante como u .

u = cos ⁡ t

Derivando e isolando d t em um lado da igualdade:

d u d t = - sin ⁡ t → d t = - 1 sin ⁡ t d u

Assim, substituindo u e d t na integral, vamos obter:

∫ sin ⁡ t sec 2 ⁡ ( cos ⁡ t ) d t → ∫ sin ⁡ t sec 2 ⁡ u - 1 sin ⁡ t d u

Podemos simplificar sin ⁡ t ...

- ∫ sec 2 ⁡ u d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Viu que tínhamos uma integral extremamente complicada e agora temos outra integral bem mais simples?

Temos que lembrar do Teorema Fundamental:

∫ a sec 2 ⁡ x d x = a tan ⁡ x + C

Ou seja:

- ∫ sec 2 ⁡ u d u = - tan ⁡ u + C

Por fim, temos que voltar de u para t , então aplicamos a substituição de volta!

∫ sin ⁡ t sec 2 ⁡ ( cos ⁡ t ) d t = - tan ⁡ cos ⁡ t + C

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ sin ⁡ t sec 2 ⁡ ( cos ⁡ t ) d t = - tan ⁡ cos ⁡ t + C

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