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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 19

Calcule a integral indefinida.

int ((ln x)^2)/(x) d x

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema temos que calcular a integral dada por

int ((ln x)^2)/(x) d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição

int f (x) d x -> int f (u) d u

Então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um ln x e uma função com (1)/(x) , podemos então usar a mudança de variável:

u = ln x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(x) d x

Vamos agora fazer a substuição:

int ((ln x)^2)/(x) d x = int u^2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^2 d u = (u^(2 + 1))/(2 + 1) = (u^3)/(3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo

int ((ln x)^2)/(x) d x = int u^2 d u = (u^3)/(3) + C

Se u = ln (x) , então

int ((ln x)^2)/(x) d x = ((ln x)^3)/(3) + C

E aí! o que achou? Responde Aí! 😊

Resposta

int ((ln x)^2)/(x) d x = ((ln x)^3)/(3) + C

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