Calcule a integral indefinida.

∫ ln ⁡ x 2 x d x

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema temos que calcular a integral dada por

∫ ln ⁡ x 2 x d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição

∫ f x d x → ∫ f u d u

Então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um ln ⁡ x e uma função com 1 x , podemos então usar a mudança de variável:

u = ln ⁡ x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 x   d x

Vamos agora fazer a substuição:

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ∫ u 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 2 d u = u 2 + 1 2 + 1 = u 3 3 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ∫ u 2 d u = u 3 3 + C

Se u = ln ⁡ x , então

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ln ⁡ x 3 3 + C

E aí! o que achou? Responde Aí! 😊

Resposta

∫ ln ⁡ x 2 x d x = ln ⁡ x 3 3 + C

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