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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 81

Calcule a integral definida abaixo:

int_((1)/(8))^1 x^(- (1)/(3)) (1 - x^((2)/(3)))^((3)/(2)) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo u(k), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o resultado de u(k) irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Você poderia também após integrar, substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir e utilizar os limites de integração iniciais.

int_((1)/(8))^1 x^(- (1)/(3)) (1 - x^((2)/(3)))^((3)/(2)) d x

u = 1 - x^((2)/(3)) d u = - (2)/(3) x^(- (1)/(3)) d x => - (3)/(2) d u = x^(- (1)/(3)) d x

u (1) = 1 - 1^((2)/(3)) = 0 u ((1)/(8)) = 1 - ((1)/(8))^((2)/(3)) = 1 - (1)/(4) = (3)/(4)

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_((3)/(4))^0 - (3)/(2) u^((3)/(2)) d u = - (3)/(2) int_((3)/(4))^0 u^((3)/(2)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

- (3)/(2) int_((3)/(4))^0 u^((3)/(2)) d u = - (3)/(2) ((u^(((5)/(2))))/((5)/(2))) (0)/((3)/(4)) = - (3)/(2) xx (2)/(5) (u^((1)/(3))) (0)/((3)/(4)) = - (3)/(5) (u^((1)/(3))) (0)/((3)/(4))

Passo 4

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

- (3)/(5) (u^((1)/(3))) (0)/((3)/(4)) = - (3)/(5) (0^((5)/(2)) - ((3)/(4))^((5)/(2))) = - (3)/(5) (- (9 sqrt(3))/(32)) = (27 sqrt(3))/(160)

Resposta

(27 sqrt(3))/(160)

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