Calcule a integral definida abaixo:

∫ 1 8 1 x - 1 3 1 - x 2 3 3 2     d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo u(k), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o resultado de u(k) irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Você poderia também após integrar, substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir e utilizar os limites de integração iniciais.

∫ 1 8 1 x - 1 3 1 - x 2 3 3 2     d x

u = 1 - x 2 3 d u = - 2 3 x - 1 3   d x   ⇒ - 3 2 d u = x - 1 3   d x

u 1 = 1 - 1 2 3 = 0 u 1 8 = 1 - 1 8 2 3 = 1 - 1 4 = 3 4

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 3 4 0 - 3 2 u 3 2     d u =   - 3 2 ∫ 3 4 0 u 3 2     d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

- 3 2 ∫ 3 4 0 u 3 2     d u =   - 3 2 u 5 2 5 2 0 3 4 = - 3 2 × 2 5 u 1 3 0 3 4 =   - 3 5 u 1 3 0 3 4  

Passo 4

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

      - 3 5 u 1 3 0 3 4 =   - 3 5 0 5 2 - 3 4 5 2 =   - 3 5 - 9 3 32 = 27 3 160

Resposta

27 3 160

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