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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 46

Calcule a integral definida por dois métodos:

a ) use a fórmula prismoidal dada no exercício 44 ;

b ) use o segundo teorema fundamental do Cálculo

∫ 2 6 2 x 3 - 2 x - 3 d x  

Passo 1

Letra a

A formula prismoidal vai ser para a integral de um polinômio de 3 ° grau.

∫ a b f x d x = b - a 6 f a + 4 f a + b 2 + f b

Na nossa questão vamos ter:

f x = 2 x 3 - 2 x - 3

b = 6

a = 2

Assim, a integral vai ficar:

∫ 2 6 2 x 3 - 2 x - 3 d x = 6 - 2 6 f 2 + 4 f 6 + 2 2 + f 6 =

4 6 f 2 + 4 f 4 + f 6

Vamos ter:

f 2 = 2 2 3 - 2 2 - 3 = 16 - 4 - 3 = 9

f 4 = 2 4 3 - 2 4 - 3 = 128 - 8 - 3 = 117

f 6 = 2 6 3 - 2 6 2 - 3 = 432 - 72 - 3 = 417

Logo:

4 6 9 + 4.117 + 417 = 2 3 894 = 1788 3 = 596

Passo 2

Letra b

∫ 2 6 2 x 3 - 2 x - 3 d x

Temso que começar achando a integral indefinida:

∫ 2 x 3 - 2 x - 3 d x

Usandso as propriedades de integrais:

∫ 2 x 3 - 2 x - 3 d x = 2 ∫ x 3 d x - 2 ∫ x d x - 3 ∫ d x

Essas antiderivadas são as de potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ,     s e   n ≠ 1

Primeiro, vamos escrever as duas frações como potências:

2 ∫ x 3 d x - 2 ∫ x d x - 3 ∫ d x = 2 x 4 4 - 2 x 2 2 - 3 x + C = x 4 2 - x 2 - 3 x + C

Passo 3

Usando o segundo teorema fundamental do calculo:

∫ 2 6 2 x 3 - 2 x - 3 d x = x 4 2 - x 2 - 3 x 2 6 = 6 4 2 - 6 2 - 3.6 - 1 4 2 - 1 2 - 3.1 =

648 - 36 - 18 - 1 2 + 1 + 3 = 1195 2

Resposta

Letra a

596

Letra b

1195 2

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Ache o limitante para o erro de truncamento na aproximação do exercício indicado: ∫ 0 2 x 3 d x ; n = 4
A integral a seguir não pode ser calculada exatamente em termos das funções elementares. Use a regra de Simpsom com o valor indicado n para encontrar um valor aproximado da integral definida dada. Exp
A integral a seguir não pode ser calculada exatamente em termos das funções elementares. Use a regra de Simpsom com o valor indicado n para encontrar um valor aproximado da integral definida dada. Exp
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