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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.10 - Ex. 25

Ache o limitante para o erro de truncamento na aproximação do exercício indicado:

∫ 0 2 x 3 d x ; n = 4

Passo 1

A primeira coisa a se saber para resolver essa questão é qual fórmula usar. No enunciado fica claro que o exercício depende de um anterior, que no caso é o exercício 19 (dar uma olhada lá). No exercício 19 foi usada a regra de Simpson para se obter o valor aproximado da integral, então a fórmula que será usada vai ser a de erro de truncamento da regra de Simpson que é dada por:

∈ = - 1 180 b - a * f i v η * ∆ x 4

Parece complicada né... mas calma não é tanto assim não. Vamos analisar com calma essa coisa feia aí.

∈ = E r r o   d e   t r u n c a m e n t o

b = l i m i t e   s u p e r i o r   d a   n o s s a   i n t e g r a l

a = l i m i t e   i n f e r i o r   d a   n o s s a   i n t e g r a l

f i v η = q u a r t a   d e r i v a d a   a p l i c a d a   n o   p o n t o   η

∆ x = b - a n

Pronto, agora sim tá tudo certo pra gente resolver. Só vamos!!

Passo 2

Primeiramente vamos calcular o ∆ x . Basta apenas jogar os valores na fórmula já apresentada.

∆ x = b - a n = 2 - 0 4 = 1 2

Passo 3

Segundamente vamos encontrar as nossas derivadas:

f x = x 3

f ´ x = 3 x 2

f ´ ´ x = 6 x

f ´ ´ ´ x = 6

f i v x = 0

Um detalhe importante: Essas derivadas foram encontradas usando a regra da cadeia da derivada, caso não esteja lembrando muito bem como se faz, dá uma olhada no curso de cálculo rapidão e volta aqui pra gente conversar melhor, porque isso é extremamente importante.

Passo 4

Terceiramente vamos aplicar os valores dos intervalos dado na nossa quarta derivada. O intervalo é o a ,   b = 0 ,     2 (limites inferior e superior da integral respectivamente).

f i v 0 = 0

f i v 2 = 0

Estamos quase terminando, paciência jovem Padawan.

Passo 5

Quartamente vamos aplicar os valores encontrados nos passos na nossa fórmula dada no ‘passo 1”. Logo:

∈ 1 = - 1 180 b - a * f i v 0 * ∆ x 4

∈ 1 = - 1 180 2 - 0 * 0 * 1 2 4

∈ 1 = 0  

∈ 2 = - 1 180 b - a * f i v 2 * ∆ x 4

∈ 2 = - 1 180 2 - 0 * 0 * 1 2 4

∈ 2 = 0

Nosso resultado estará com os limitantes nesse intervalo ( ∈ 1 ,   ∈ 2 ) , como ambos deram o mesmo valor podemos dizer que:

∈ = 0

chegamos ao final. Parabéns se você chegou até aqui.

Resposta

∈ = 0

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Considere a função f(x) dada pela tabela: B) Se os valores tabelados são de um polinômio de grau 3, o que pode ser afirmado sobre o erro cometido na aproximação de I) pela fórmula 1 3 de Simpson?
Considere a função f(x) dada pela tabela: A) Avalie: Usando a fórmula 1 3 de Simpson.
Em contraste com o exercício anterior, considere:Usando a regra de Simpson sobre N intervalos obteve-se a tabela:Explique a diferença entre estes resultados e os do exercício anterior.