Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 13

Calcule a integral definida

int_(- 1)^2 ( x - 1 ) ( 2 x + 3 ) d x

usando os resultados:

int_(- 1)^2 x^2 d x = 3 int_(- 1)^2 x d x = (3)/(2)

Passo 1

Queremos decompor a integral, a colocando em termos de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x para substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Para isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

int_a^b [f (x) + g (x)] d x = int_a^b f (x) d x + int_a^b g (x) d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma. Uma outra propriedade diz que:

int_a^b k f (x) d x = k int_a^b f (x) d x

Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral.

Mas perceba que pra chegarmos na expressão em termos de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x precisamos primeiro resolver o produto ( x - 1 ) ( 2 x + 3 ) , para conseguirmos os fatores x e x^2 separados.

Passo 2

Primeiro vamos resolver o produto. Fazendo uma distributiva, temos:

(x - 1) (2 x + 3) = 2 x^2 + 3 x - 2 x - 3 = 2 x^2 + x - 3

Então ficamos com a integral assim:

int_(- 1)^2 ( x - 1 ) ( 2 x + 3 ) d x = int_(- 1)^2 (2 x^2 + x - 3) d x

Agora que já temos a expressão do jeito que a gente quer, podemos separar a integral através das propriedades e transformá-la em uma combinação de int_(- 1)^2 x^2 d x e int_(- 1)^2 x d x .

Passo 3

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para dividir a integral em três:

int_(- 1)^2 (2 x^2 + x - 3) d x = int_(- 1)^2 2 x^2 d x + int_(- 1)^2 x d x - int_(- 1)^2 3 d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_(- 1)^2 2 x^2 d x + int_(- 1)^2 x d x - int_(- 1)^2 3 d x = 2 int_(- 1)^2 x^2 d x + int_(- 1)^2 x d x - 3 int_(- 1)^2 d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

2 int_(- 1)^2 x^2 d x + int_(- 1)^2 x d x - 3 int_(- 1)^2 d x = 2 * 3 + (3)/(2) - 3 ( 2 - (- 1) )

= 6 + (3)/(2) - 3 * 3 = 6 + (3)/(2) - 9 = - 3 + (3)/(2) = (- 6 + 3)/(2) = - (3)/(2) .

Resposta

int_(- 1)^2 (x - 1) (2 x + 3) d x = - (3)/(2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 2 c k 3 Δ x k Onde P é uma partição de [ - 1,0 ]
Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n s e c ⁡ ( c k ) Δ x k Onde P é uma partição de - π 4 , 0
Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 2 f x d x = - 4 ∫ 1 5 f x d x = 6 ∫ 1 5 g x d x = 8 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 2 2 g x d x ∫ 5 1 g x d x ∫ 1 2 3 f x d x ∫ 2 5 f x d x
Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral ∫ - 3 3 9 - x 2d x
Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral ∫ - 2 4 x 2 + 3d x