Duas partículas entram em movimento ao mesmo tempo. Uma move-se segundo uma reta horizontal e sua equação de movimento é x = t^2 - 2t , onde x cm é a distância orientada da partícula desde a origem em t s . A outra move-se ao longo de uma reta vertical que intercepta a reta horizontal na origem e sua equação de movimento é y = t^2 - 2 , onde y cm é a distância orientada da partícula desde a origem em t s . Determine quando a distância orientada entre as partículas é mínima e suas velocidades naquele instante.

Passo 1

A primeira coisa aqui é lembrar que a distância entre pontos é dada pela fórmula:

d A , B = x b - x a 2 + y b - y a 2

Perceba também que as partículas podem ser escritas da seguinte forma ( t 2 - 2 t , 0 ) e ( 0 , t 2 - 2 ) , pois estão em retas verticais e horizontais. Dessa forma, podemos calcular a distância entre as partículas.

d P 1 , P 2 = t 2 - 2 t - 0 2 + 0 - ( t 2 - 2 )   2 = t 2 - 2 t 2 + t 2 - 2 2

f t = t 4 - 4 t 3 + 4 t 2 + t 4 - 4 t 2 + 4 = 2 t 4 - 4 t 3 + 4

f t = 2 t 4 - 4 t 3 + 4

Passo 2

Para achar a distância mínima, vamos derivar essa função que depende apenas dos valores de t e igualar 0 .

f ' t = 2 t 4 - 4 t 3 + 4 ' 2 2 t 4 - 4 t 3 + 4 = 8 t 3 - 12 t 2 2 2 t 4 - 4 t 3 + 4 = 4 t 3 - 6 t 2 2 t 4 - 4 t 3 + 4

f ' t = t 2 ( 4 t - 6 ) 2 t 4 - 4 t 3 + 4 = 0   →       t 2 4 t - 6 = 0       →       t = 0           ou           t = 3 2

Como t > 0 , o possível mínimo ocorre em t = 3 2 . Perceba que para t > 3 2 ,   f ' t > 0 e para

0 < t < 3 2 , f ' t < 0 , isso indica justamente o ponto de mínimo absoluto. Portanto, a distância mínima ocorre quando t = 3 2   s .

Passo 3

Para achar a velocidade, nós derivamos as funções do movimento em relação ao tempo e substituímos t = 3 2 .

A velocidade na horizontal para t = 3 2 será d x d t = 2 t - 2     →     d x d t = 3 - 2 = 1   cm/s .

A velocidade na vertical para t = 3 2 será d y d t = 2 t   →     d y d t = 3   cm/s .

Resposta

A distância mínima ocorre quando t = 3 2 , a velocidade na vertical é 3   cm/s e na horizontal é 1   cm/s .

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