Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 69
Duas partículas entram em movimento ao mesmo tempo. Uma move-se segundo uma reta horizontal e sua equação de movimento é , onde é a distância orientada da partícula desde a origem em . A outra move-se ao longo de uma reta vertical que intercepta a reta horizontal na origem e sua equação de movimento é , onde é a distância orientada da partícula desde a origem em . Determine quando a distância orientada entre as partículas é mínima e suas velocidades naquele instante.
Passo 1
A primeira coisa aqui é lembrar que a distância entre pontos é dada pela fórmula:
Perceba também que as partículas podem ser escritas da seguinte forma e , pois estão em retas verticais e horizontais. Dessa forma, podemos calcular a distância entre as partículas.
Passo 2
Para achar a distância mínima, vamos derivar essa função que depende apenas dos valores de e igualar .
Como , o possível mínimo ocorre em . Perceba que para e para
, , isso indica justamente o ponto de mínimo absoluto. Portanto, a distância mínima ocorre quando .
Passo 3
Para achar a velocidade, nós derivamos as funções do movimento em relação ao tempo e substituímos .
A velocidade na horizontal para será .
A velocidade na vertical para será .
Resposta
A distância mínima ocorre quando , a velocidade na vertical é e na horizontal é .