Esboce o gráfico do integrando e use áreas para calcular a integral

Vamos começar por determinar o intervalo de análise. O intervalo será dado por , em que é o limite inferior da nossa integral e o limite superior. Desta forma, temos:

Vamos obter agora o gráfico da nossa função. Portanto, temos:

Em destaque temos a área da região que devemos calcular, à qual possui a forma de um semicírculo de raio e centro na origem . Poderíamos ter percebido que o mesmo corresponde a um semicírculo se fizermos . Se elevarmos ambos os membros ao quadrado, obtemos:

Logo, temos a equação de uma circunferência. Só que como , pois é dado por uma raiz quadrada, só podemos pegar a parte de cima da nossa circunferência! Além disto, como varia de , temos toda a parte de cima do nosso círculo! E agora? Fica fácil de visualizar, né?

A área de um círculo é:

Sabendo que o raio é e que a nossa figura corresponde a metade de um círculo, a sua área é:

Logo,