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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 42

Calcule a integral definida

(d)/(d x) int_(- x)^x cos ( t^2 + 1 ) d t

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() a x^n = (x)/(a ( n + 1 ))^(n + 1) , a = c o n s t a n t e

(d)/(d x) int_a^(f ( x )) h (t) d t = h (f ( x )) . (d)/(d x) (f (x) - a)

Passo 2

Mesma coisa da questão anterior, vamos separar esse intervalo em 2.

De [x, -x ] pra [x ,0 ] + [0,-x]. Vamos treinar ate ficar craque nisso : )

(d)/(d x) int_(- x)^x cos ( t^2 + 1 ) d t

= (d)/(d x) int_(- x)^0 cos ( t^2 + 1 ) d t + (d)/(d x) int_0^x cos ( t^2 + 1 ) d t

E como temos uma função par podemos reduzir pra uma única integral multiplicada 2 vezes.

= 2 (d)/(d x) int_0^x cos ( t^2 + 1 ) d t 2 cos ( x^2 + 1 ) . (d)/(d x) (x - 0)

Não diminua o ritmo, quanto mais questões fizer mais próximo do 10 em calculo

Resposta

(d)/(d x) int_(- x)^x cos ( t^2 + 1 ) d t = 2 cos ( x^2 + 1 )

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