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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 24

Calcule a integral efetuando uma substituição trigonométrica apropriada.

∫ x 2 x 2 - 25 d x

Passo 1

Como no denominador a gente tem algo parecido com x 2 - a 2 , com a = 5 , vamos usar a substituição:

x = a sec ⁡ θ = 5 sec ⁡ θ

d x d θ = 5   t g   θ sec ⁡ θ ∴ d x = 5   t g   θ sec ⁡ θ d θ

A integral fica assim:

∫ 25 sec 2 ⁡ θ 25  sec 2 ⁡ θ - 25 5   t g   θ sec ⁡ θ d θ = ∫ 25 sec 2 ⁡ θ 25   ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) 5   t g   θ sec ⁡ θ d θ

Sabendo que:

sec 2 ⁡ θ - 1 = t g 2 θ

Podemos reescrever a integral assim:

∫ 25 5 t g 2 θ 5 t g θ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ 25 sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora a gente precisa resolver essa integral. Podemos usar a fórmula de redução:

∫ sec n ⁡ θ d θ = sec n - 2 ⁡ x   t g   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

Fica assim:

∫ 25 sec 3 ⁡ θ d θ = 25   sec ⁡ θ t g   θ 2 - 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ = 25 2 sec ⁡ θ   t g   θ + 25 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + t g   θ |  

Passo 3

Mas a nossa integral estava em função de x . Então a gente tem que voltar para essa variável. Usamos a substituição:

x = 5 sec ⁡ θ ∴ x 5 = 1 cos ⁡ θ ∴ θ = a r c c o s   5 x

Desenhando o triângulo retângulo com essa característica, e usando Pitágoras para achar o lado que falta:

Daí a gente pode tirar que:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = x 5 ,     t g   θ = x 2 - 25 5

Substituindo esses valores na nossa resposta:

∫ x 2 x 2 - 25 d x = 25 2 sec ⁡ θ   t g   θ + 25 2 ln ⁡ | sec ⁡ θ + t g   θ |   =

= 1 2 x   x 2 - 25 + 25 2 ln ⁡ x 5 + x 2 - 25 5 + C

E lembrando que precisamos colocar a constante de integração, já que a integral é indefinida.

Resposta

1 2 x   x 2 - 25 + 25 2 ln ⁡ x 5 + x 2 - 25 5 + C

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Verifique se a integral imprópria converge. Em caso positivo, determine seu valor. ∫ 3 10 d x x 2 x 2 - 9